DERIVASI LANGSUNG HUKUM KE-2 KEPLER DARI KONSERVASI MOMENTUM SUDUT

Bayangkan sebuah batu yg dilempar ke atas saat naik ia akan semakin kehilangan kecepatan kemudian untuk sesaat di atas lintasan bergerak sangat lambat & akhirnya kembali turun untuk menambah kecepatan lagi.Dalam banyak hal,sebuah planet yg mengelilingi Matahari atau satelit buatan yg berada di sekitar Bumi, obyek² itu akan bergerak dengan cara yg sama seperti batu yg dilempar tadi meski model persamaannya agak berbeda & akan menjadi similar jika orbitnya memanjang atau memiliki nilai eksentrisitas yg besar. Ketika sebuah planet atau satelit naik dalam sistem orbit,maka gerakannya akan melambat lalu saat kembali menuju pusat maka gerakannya menjadi dipercepat & bergerak tercepat saat berada pada titik orbit terdekat yg disebut perihelion untuk sebuah planet (helios artinya matahari) & perigee untuk satelit Bumi (geo artinya bumi).

Hukum ke-2 Kepler menyatakan tentang pergerakan planet, “The line joining the planet to the Sun sweeps out equal areas in equal intervals of time”. Maksudnya adalah planet² akan menyapu luas yg sama dalam waktu yg sama pula. Perhatikan gambar di bawah,jika sebuah planet bergerak dari A₁ ke A₂ menempuh waktu t = 1 satuan waktu,maka planet akan bergerak di sepanjang lintasannya dengan laju sedemikian hingga dalam waktu yg sama garis cahaya matahari(titik fokus) membentuk sudut dengan luas yg sama pula. Formulasi hukum Kepler ke-2 ini....

dA/dt = c

dimana dA adalah perubahan luas bidang orbit & dt adalah perubahan intervel waktu. Gambar mengilustrasikan hukum area sama dalam waktu yg sama,dalam hukum Kepler I nanti akan ditunjukan bahwa lintasan planet berbentuk ellips,konsekuensinya planet² akan bergerak lebih cepat pada lintasan orbitnya apabila ia berada titik yg lebih dekat

dengan matahari & akan bergerak lebih lambat jika berada di titik jauh dari matahari. Hukum tentang area sama dalam waktu yg sama adalah konsekuensi dari sebuah fakta bahwa planet² mempertahankan momentum sudutnya ketika berputar disekitar matahari. Dalam gambar di atas titik fokusnya adalah matahari,misalkan sebuah planet A bergerak dari A₁ ke A₂ dalam waktu satuan waktu saat berada di lintasan yg dekat dengan matahari maka ketika jauh dari matahari dalam waktu tertentu pula planet A akan menempuh jarak dari A₃ ke A₄.Luas daerah A₁FA₂ akan sama dengan luas daerah A₃FA₄.

ΔA = ½r(rΔθ)

ΔA/Δt = r²Δθ/2Δt

di kenai limit dengan Δt ➾ 0,sehingga ...

lim Δt ➾ 0(ΔA/Δt) = dA/dt

lim Δt ➾ 0(r²Δθ/2Δt) = ½r²(dθ/dt)

bila tanpa torsi luar,maka momentum sudut bersifat konstan...

L = mvr

= mω²r

ωr = L/mω

sehingga ...

dA/dt = ½ωr²

= L/2m.r/ω

Jadi kesimpulannya,perubahan luas area terhadap waktu yg disapu oleh planet di sebarang titik orbit berbanding lurus dengan radius orbit & berbanding terbalik dengan masa planet.Vektor radius yg menyapu luas area dengan laju konstan sehingga hukum ke-2 Kepler untuk gerakan planet merupakan konsekuensi langsung dari hukum konservasi momentum sudut.